যে শর্তে $a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ এবং $b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ ভেক্টর দুটি লম্ব হবে তা নির্ণয় কর।

দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব (perpendicular) হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল (dot product) বা স্কেলার গুণফল (scalar product) শূন্য হবে।

ধরি, দুটি ভেক্টর হলো:

`\[ \vec{A} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} \]`

এবং

`\[ \vec{B} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k} \]`

তাদের ডট গুণফল হলো:

`\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \cdot (b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}) \]`

`\[ = a_1b_1(\hat{i} \cdot \hat{i}) + a_1b_2(\hat{i} \cdot \hat{j}) + a_1b_3(\hat{i} \cdot \hat{k}) + a_2b_1(\hat{j} \cdot \hat{i}) + a_2b_2(\hat{j} \cdot \hat{j}) + a_2b_3(\hat{j} \cdot \hat{k}) + a_3b_1(\hat{k} \cdot \hat{i}) + a_3b_2(\hat{k} \cdot \hat{j}) + a_3b_3(\hat{k} \cdot \hat{k}) \]`

যেহেতু, `\(\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1\)` এবং `\(\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0\)` (কারণ একক ভেক্টরগুলো পরস্পর লম্ব)।

সুতরাং, ডট গুণফলটি দাঁড়ায়:

`\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = a_1b_1(1) + 0 + 0 + 0 + a_2b_2(1) + 0 + 0 + 0 + a_3b_3(1) \]`

`\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \]`

ভেক্টর দুটি লম্ব হওয়ার শর্ত অনুযায়ী, তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে:

`\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \]`

`\[ \text{অতএব, } a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0 \]`

এই শর্তটি বিকল্প ২-এ দেওয়া আছে।